f) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB\cdot HC=12^2=144\)(1)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BH+CH=25

hay BH=25-CH(2)

Thay (2) vào (1), ta được:

\(HC\left(25-HC\right)=144\)

\(\Leftrightarrow HC^2-25HC+144=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}HC=16\\HC=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}HB=9\\HB=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AB\in\left\{15;20\right\}\\AC\in\left\{20;15\right\}\end{matrix}\right.\)

a, Tìm được

BC =  3 13 cm, AH =  18 13 13 cm, BH =  12 13 13 cm và CH =  27 13 13 cm

b, Tìm được BC=25cm, AC=20cm, HC=16cm và AH=12cm

xét tg AHC có H=90 độ=> AC²=AH²+HC²( dl Py-ta-go)

=> HC²= AC²-AH²=> HC²= 92,16=9,6 cm

Xét tg ABC và tg HAC có H=A=90 độ

                                         C chung 

=> tg ABC~tg HAC(g,g)

=> AH/AB=AC/HC

=>  7,2/AB= 12/9,6=> AB= 7,2.12:9,6=9 cm

Xét tg ABC có A=90 độ(gt)

=> CB²=AB²+AC²(dl PY-ta -go)

=> BC²=225=> BC=15 cm

Mà BH+HC=BC=> BH=BC-HC=> BH=15-9,6=5,4 cm

a.

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm) theo định lý Pitago

$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=4,8$ (cm)

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4,8^2}=3,6$ (cm) theo định lý Pitago

$CH=BC-BH=10-3,6=6,4$ (cm)

b.

Áp dụng HTL trong tam giác vuông:

$AH^2=BH.CH$

$\Rightarrow BH=\frac{AH^2}{CH}=\frac{AH^2}{CH}=\frac{9,6^2}{12,8}=7,2$ (cm)

$BC=BH+CH=7,2+12,8=20$ (cm)

$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{9,6^2+7,2^2}=12$ (cm) theo Pitago

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$ (cm) theo Pitago

c.

$AB.AC=AH.BC=12.25=300$

$AB^2+AC^2=BC^2=625$

$(AB+AC)^2-2AB.AC=625$

$AB+AC=\sqrt{625+2AB.AC}=\sqrt{625+2.300}=35$

Áp dụng Viet đảo thì $AB,AC$ là nghiệm của:

$X^2-35X+300=0$

$\Rightarrow (AB,AC)=(20,15)$ (giả sử $AB>AC$)

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$ (cm)

$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$ (cm)

d.

Áp dụng HTL trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$\Rightarrow BC=\frac{AB^2}{HB}=\frac{15^2}{9}=25$ (cm)

$CH=BC-BH=25-9=16$ (cm)

Áp dụng HTL:

$AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{9.16}=12$ (cm)

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20$ (cm)

e.

$BC=BH+CH=12,5+7,2=19,7$ (cm)

$AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{12,5.7,2}=3\sqrt{10}$ (cm)

$AB=sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{(3\sqrt{10})^2+12,5^2}=\frac{\sqrt{985}}{2}$ (cm)

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(3\sqrt{10})^2+7,2^2}=\frac{3\sqrt{394}}{5}$ (cm)

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+9^2=117\)

hay \(BC=3\sqrt{13}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AB\cdot AC=AH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\\CH=\dfrac{27\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\\AH=\dfrac{18\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) Có CT \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{36+81}=3\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow\frac{1}{AH}=\frac{\sqrt{13}}{18}\Rightarrow AH=\frac{18\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)

\(AC^2=HC.BC\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{81}{3\sqrt{13}}=\frac{27\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HB=BC-HC=3\sqrt{13}-\frac{27\sqrt{13}}{13}=\frac{12\sqrt{13}}{13}\)

b) Theo bài ra

Áp dụng định lý Pytago

\(AB^2=AH^2+HB^2\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\sqrt{225-81}=12\left(cm\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AC}=\frac{1}{20}\Rightarrow AC=20\left(cm\right)\)

Lại có \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{225+400}=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-HB=25-9=16\left(cm\right)\)

Bạn có thể làm tương tự vói các ý còn lại